RESUMO DA MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO - PARTE 8

Blog “Ciências Exatas Contemporâneas”, de autoria de Superdotado Álaze Gabriel.

Disponível em http://www.cienciaexatascontemporaneas.blogspot.com.br/

15. Geometria

15.1 Geometria Analítica

a)      Equações da reta:

Equação Geral

A (xa, ya)

B (xb, yb)

Equação Segmentária (numerador c)

→ x/p + y/n = 1, sendo p = -c/a e n = - c/b;

Equação Reduzida (denominador b)

→ y = m_x + n, sendo m o coeficiente angular e n o coeficiente linear;

→ m = -a/b;

→ n = -c/b;

→ m = tg α = Δy/Δx = (yb – ya)/(xb – xa).

b)   Equação da reta, conhecidos um ponto e a direção

→ y – y_a = m (x – x_a) → a reta não é vertical;

→ x = x_a → a reta é vertical.

c)    Distância de um ponto à reta

d)   Distância entre dois pontos

e)    Área do triângulo

At = │D│/2

f)    Circunferência

g)   Posições do ponto P em relação à circunferência λ

→ n = xp² + yp² - 2xcyp – 2ycyp + (x²c + yc² - r²);

→ n > 0 → P é externo à λ (circunferência);

→ n = 0 → P pertence à λ;

→ n < 0 → P é interno à λ.

15.2 Geometria Plana

a)   Triângulo

Qualquer

- A_t = (b x h)/2

- A_t = √p (p – a) (p – b) (p – c), sendo p o semiperímetro.

Equilátero

→ A_t = (l² √3)/4

→ h = l √3/2

→ b.c = a.h

→ a = m + n

→ h² = m.n

→ a² = b² + c²

→ b² = a.n

→ c² = a.m

b)   Paralelogramo

A_p = b.h

c)    Trapézio

A_t = [(B + b) . h]/2

d)   Quadrado

A_q = l²

d = l √2

e)    Retângulo

A_r = a.b, sendo a a largura e b o comprimento

f)    Losango

A_l = (D.d)/2

g)   Círculo/Circunferência

A_c = π.r²

C = 2.π.r

h)   Polígonos regulares circunscritos

Hexágono

l = R

a = (l √3)/2

A_h = (3l² √3)/2

Triângulo equilátero

l = r √3

a = r/2

A_t = p.a

Quadrado

l = r √2

a = l/2

A_q = 2.π²

15.3 Geometria Espacial

a)   Prismas

Reto

A_T = 2.A_b + A_l

V = A_b.h

Retângulo

V = a.b.c

d = √a² + b² + c²

Triangular Regular

A_b = (a² √3)/4

Hexagonal Regular

A_b = (3a² √3)/2

Cubo

d₁ = a √2

d₂ = a √3

A_T = 6.a²

V = a³

b)   Pirâmides

Regular

AT = Ab + Al

V = (Ab.h)/3

Tetraedro Regular

m’ = a √3/6

m = a √3/2

Quadrangular

m’ = ab/2

Tronco de Pirâmide

V = (h1/3)*[B + (√B – b) + b]

c)    Cilindros

Regular Reto

A_l = 2.π.r.h

A_T = 2.π.r.(r + h)

V = π.r².h

h = g

Equilátero

A_l = 4.π.r²

A_T = 6.π.r²

V = 2.π.r³

2.r = g = h

d)   Cones

Circular Reto

A_l = π.r.g

A_T = π.r.(g + r)

V = π.r².(h/3)

g² = h² + r²

Equilátero

g = 2.r

h = r.√3

A_T = 3.π.r²

Tronco de cone

A_l = π.(R + r).g

A_T = A_l + S + s

V_T = (π.h)/3 [R² + R.r + r²]

e)    Esferas

A_T = 4.π.r²

V = (4.π.r³)/3

f)    Poliedros

V – A + F = 2

S = (V – 2) . 360°

V é o número de vértices

A é o número de ângulos

F é o número de faces

16. Polinômios

16.1 Operações

Adição e Subtração → basta adicionar ou subtrair algebricamente os coeficientes dos termos de mesmo grau;

Multiplicação → basta multiplicar cada ermo de um dos polinômios por todos os termos do outro polinômio;

Divisão → basta aplicar o dispositivo                             

16.2 Equações Algébricas

Relações de Girard

- Equações do 2° grau

ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Temos:

x₁ + x₂ = -b/a

x₁ * x₂ = c/a

- Equações do 3° grau

ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0. Temos:

x₁ + x₂ + x₃ = -b/a

x₁*x₂ + x₁*x₃ + x₂*x₃ = c/a

x₁*x₂*x₃ = -d/a

- Equações do 4° grau

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, com a ≠ 0. Temos:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -b/a

x₁*x₂ + x₁*x₃ + x₁*x₄ + x₂*x₃ + x₂*x₄ + x₃*x₄ = c/a

x₁*x₂*x₃ + x₁*x₂*x₄ + x₁*x₃*x₄ + x₂*x₃*x₄ = -d/a

x₁*x₂*x₃*x₄ = e/a

- Equações do 5° grau

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0, com a ≠ 0. Temos:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = -b/a

x₁*x₂ + x₁*x₃ + x₁*x₄ + x₁*x₅ + x₂*x₃ + x₂*x₄ + x₂*x₅ + x₃*x₄ + x₃*x₅ + x₄*x₅ = c/a

x₁*x₂*x₃ + x₁*x₂*x₄ + x₁*x₂*x₅ + x₁*x₃*x₄ + x₁*x₃*x₅ + x₁*x₄*x₅ + x₂*x₃*x₄ + x₂*x₃*x₅ + x₂*x₄*x₅ + x₃*x₄*x₅ = -d/a

x₁*x₂*x₃*x₄ + x₁*x₂*x₃*x₅ + x₁*x₂*x₄*x₅ + x₁*x₃*x₄*x₅ + x₂*x₃*x₄*x₅ =  e/a

x₁*x₂*x₃*x₄*x₅ = f/a

- e daí sucessivamente.

16.3 Multiplicidade de uma raiz

P (x) = (x – x’)^m . Q (x) e Q (x’) ≠ 0, sendo x’ uma raiz de P (x), com multiplicidade m.

16.4 Raízes Complexas e Racionais

Complexas → se z = a + bi (a, b Є R e b ≠ 0) é raiz de uma equação algébrica de coeficientes reais, então , também é raiz dessa equação.

Racionais → P (x) = a_n.x_n + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0 (coeficientes inteiros).

Se o número racional p/a (p Є Z e q Є Z*, com p e q primos entre si) é raiz dessa equação, então p é divisor de a₀ e q é divisor de a_n.

17. Números Complexos

17.1 Conjunto e Operações

C = {(x, y)│x Є R e y Є R} com:

Igualdade: (a, b) = (c, d) → a =c e b = d

Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Multiplicação: (a, b) * (c, d) = (a.c – bd, a.d + b.c)

17.2 Forma Algébrica

z = a + bi → a (parte real) e b (parte imaginária) e i = √-1 (unidade imaginária)

Igualdade: a + bi = c + di → a = c e b = d

Imaginário puro: quando a = 0 e b ≠ 0

Real: quando b = 0

17.3 Potências de i

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

iⁿ = i^{resto de n/4}  

17.4 Operações Complexas

Adição: (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d).i

Subtração: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d).i

Multiplicação: (a + bi) * (c + di) = (a.c – b.d) + (a.d + b.c).i

Conjugado de z = a + bi é ,

Divisão: z₁ / z₂ = [z₁.ž₂] / [z_2.ž₂] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ], com z₂ ≠ 0.

17.5 Forma Trigonométrica

Módulo (p): │z│ = p = √a² + b², com p > 0.