RESUMO DA MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO - PARTE 7

Blog “Ciências Exatas Contemporâneas”, de autoria de Superdotado Álaze Gabriel.

Disponível em http://www.cienciaexatascontemporaneas.blogspot.com.br/

9. Progressões

9.1 Progressão Aritmética (PA)

- Razão: determinamos a diferença entre um termo e seu antecessor. Exemplo: a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = a₅ – a₄ = a₆ – a₅ = a₇ – a₆ = e daí sucessivamente;

- Termo Geral: na = a1 + (n – 1).r

- Soma dos Termos: Sn = [(a₁ + a_n).n]/2

- Três termos em PA: (x – r, x, x + r)

9.2 Progressão Geométrica (PG)

- Razão: determinamos a divisão entre um termo e seu antecessor. Exemplo: a₂/a₁ = a₃/a₂ = a₄/a₃ = a₅/a₄ = a₆/a₅ = a₇/a₆ = e daí sucessivamente;

- Termo Geral: a_n = a₁ . q^n-1;

- Soma dos Termos: Sn = a₁. [(1 – qⁿ)/(1 – q)], sendo q ≠ 1.

- Soma dos Termos de uma PG infinita: S = a₁/(1 – q), sendo -1 < q < 1;

- Três termos em PG: (x/q, x, x.q);

- Produto dos termos de uma PG limitada: |P_n | = √(a₁.a_n)ⁿ;

10. Matrizes

10.1 Definição de matriz m x n:

Legenda:

- m ou i representa o número de linhas, m Є N*;

- n ou j representa o número de colunas, n Є N*.

10.2 Classificação das matrizes

- m/i = 1: matriz linha;

- m/i = n/j: matriz quadrada;

- n/j = 1: matriz coluna;

- m/i ≠ n/j: matriz retangular

10.3 Operações

Adição

Sendo A = [a_ij] mxn e B = [b_ij] mxn, temos A + B = [a_ij + b_ij] mxn.

Subtração

A + B = A + (-B) → A e B são matrizes de mesma ordem.

Multiplicação de um número real por uma matriz

Para calcular o produto de um número real k por uma matriz A, multiplicamos cada elemento da matriz A por esse número real k.

Multiplicação de matriz por matriz

Sendo A = (a_ik) mxp, B = (b_kj) pxn e C = (c_ij) mxn, temos:

C = A.B → c_ij = a_i1*b_1j+ a_i2*b_2j + a_i3*b_3j + ... + a_ip*b_pj, sendo:

- i1 = 1° elemento da linha i;

- i2 = 2° elemento da linha i;

- i3 = 3° elemento da linha i; e sucessivamente;

- 1j = 1° elemento da coluna j;

- 2j = 2° elemento da coluna j;

- 3j = 3° elemento da coluna j; e sucessivamente;

- p = o último elemento quer da linha quer da coluna.

11. Determinantes

11.1 Definições

- Matriz quadrada de 1ª ordem: A = [a₁₁] 1x1→ Det A = a₁₁;

- Matriz quadrada de 2ª ordem: 

  → Det A = a₁₁*a₂₂ – a₁₂*a₂₁ 

- Matriz quadrada de 3ª ordem: 

 

 

Det A (3ª ordem) = [(-1)¹⁺¹*a₁₁*(a₂₂*a₃₃ – a₃₂*a₂₃)] + [(-1)¹⁺²*a₁₂*(a₂₁*a₃₃ - a₃₁*a₂₃)] + [(-1)¹⁺³*a₁₃*(a₂₁*a₃₂ – a₃₁*a₂₂)]

- Matriz quadrada de 4ª ordem: 

 

Det A (4ª ordem) = {(-1)1+1*a11*[a22*(a33*a44 – a43*a34) + a23*(a32*a44 – a42*a34) + a24*(a32*a43 – a42*a33)]} +{(-1)1+2*a12*[a21*(a33*a44 – a43*a34) + a23*(a31*a44 – a41*a34) + a24(a31*a43 – a41*a33)]} + {(-1)1+3*a13*[a21*(a32*a44 – a42*a34) + a22*(a31*a44 – a41*a34) + a24*(a31*a42 – a41*a32)]} + {(-1)1+4*a14*[a21*(a32*a43 – a42*a33) + a22*(a31*a43 – a41*a33) + a23*(a31*a42 – a41*a32)]}

- E daí sucessivamente para toda matriz quadrada. Esses métodos provieram de Laplace e Sarris.

12. Sistemas Lineares

12.1 Definição

Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.

12.2 Regra de Crammer

É aplicável na resolução de um sistema n x n, isto é, uma matriz quadrada, onde D ≠ 0. A solução é dada por:

- x₁ = D₁/D;

- x₂ = D₂/D;

- x₃ = D₃/D;

- (...);

- x_n = D_n/D.

Ou:

- x = D_x/D;

- y = D_y/D;

- z = D_z/D;

- n = D_n/D.

Exemplo:

Dado um sitema linear do tipo:

X11a² + y12b + z13 = α X21a² + y22b + z23 = β X31a² + y32b + z33 = Ω

Então utilizamos os valores de a, b e c para formarmos uma matriz quadrada de 3ª ordem. Daí calculamos o seu determinante geral e, mediante este, os valores das incógnitas x, y e z.

Determinante Geral = D = [(-1)1+1*x11*(y22*z33 – y32*z23) + (-1)1+2*y12*(x21*z33 – x31*z23) + (-1)1+3*z13*(x21*y32 – x31*y22)]

12.3 Classificação de um sistema linear

Quanto ao número de soluções, o sistema linear pode ser;

- SPD: sistema possível e determinado → tem uma única solução, D ≠ 0;

- SPI: sistema possível e indeterminado → tem infinitas soluções, D = 0 e Di = 0, ∀i Є {1, 2, ..., n};

- SI: sistema impossível → nenhuma solução, D = 0 e Di ≠ 0, para algum i Є {1, 2, ..., n}.

12.4 Escalonamentos de sistemas

- Começa-se de baixo para cima;

- Anula-se n – (n – 1) incógnitas na última equação, de baixo para cima;

- Anula-se n – (n – 2) incógnitas na penúltima equação, de baixo para cima;

- Anula-se n – (n – 3) incógnitas na antepenúltima equação, de baixo para cima;

- (...)

- Anula-se n – (n – n) incógnitas na primeira equação, de baixo para cima.

13. Análise Combinatória│Binômio de Newton

13.1 Permutação (troca de ordem)

a)         Simples: P_n = n! → P₅ = 5! = 120;

b)        Com elementos repetidos: P_n^{(α, β, ..., Ω)} = n!/(α! Β! ...! Ω!)

13.2 Arranjo Simples (formação de subgrupo e troca de ordem)

- A_n,p = n!/(n – p)!, com p ≤ n; → A_200,5 = 200!/(200 – 5)! = 200!/195!

13.3 Combinação Simples (formação de subgrupos)

- C_n,p = n!/p!(n – p)! → C_10,3 = 10!/3!(10 – 3) = 10!/3!7!

14. Probabilidade

14.1 Espaço Amostral (S) e Evento (E)

S é o conjunto não vazio de todos os resultados possíveis de ocorrer, nem experimento aleatório. E é qualquer subconjunto do espaço amostral (S).

14.2 Operações Probabilísticas

- P (E) = n (E)/n (S), sendo 0 ≤ P (E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável;

- P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) → união de dois eventos mutuamente dependentes;

- P (A U B) = P (A) + P (B) → união de eventos mutuamente exclusivos;

- P (A/B) = P (A ∩ B)/ P (B) → ocorrência do evento A, tendo ocorrido o B;

- P (A ∩ B) = P (A) . P (B/A) → multiplicação de eventos mutuamente dependntes;

- P (A ∩ B) = P (A) . P (B) → multiplicação de eventos mutuamente independentes.