RESUMO DE PROBABILIDADE A - PARTE 1

Blog "Ciências Exatas Contemporâneas", de autoria de Superdotado Álaze Gabriel.

Disponível em http://www.cienciasexatascontemporaneas.blogspot.com.br/

INTRODUÇÃO

Embora o cálculo de probabilidades seja uma ferramenta indispensável ao estudo da Estatística e em muitos modelos da Pesquisa Operacional, seus conceitos e aplicabilidade são ensinados cada vez mais no Ensino Médio.

Normalmente é no ensino da Análise Combinatória que começa a se estabelecer os conceitos e as noções básicas para a compreensão do cálculo de probabilidades. Entretanto, quase sempre, não é dada a continuidade a este estudo, bastante importante no nosso dia-a-dia , o que provoca o esquecimento deste tipo de cálculo, por parte dos alunos.

Devido a isto, segue um resumo da teoria e alguns exercícios resolvidos e a resolver, a fim de que os alunos possam tirar suas dúvidas, quando necessário.

DEFINIÇÕES ESSENCIAIS

1) Experiência ( experimento) aleatório

Toda a experiência repetida em condições idênticas em que aparecem resultados distintos é dita experiência aleatória. Exemplo: o lançamento de uma moeda, de um dado, a extração de bolas de uma urna, ...

2) Espaço amostral (ou das probabilidades)

É como se chama o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Exemplo: o espaço amostral do lançamento de um dado é de ter 6 (seis) faces diferentes voltadas para o lançador.

3) Evento

No conjunto do espaço amostral, qualquer dos seus subconjuntos é chamado de evento. Exemplo: no lançamento de um dado a ocorrência de termos um número ímpar na face virada é um evento, ou seja:

A = {1,2,3,4,5,6} (espaço amostral)

E = {1,3,5} (evento)

Repare que E é subconjunto de A.

Observações:

Evento certo : se A = E

Evento impossível : se E = Ø (vazio)

Evento elementar : n(E) = 1 (só existe um elemento)

4) Evento complementar

É o evento que ocorre, se e somente se o outro evento não ocorrer

Obs:

1. A interseção de 2 eventos complementares é vazia

2. A união de 2 eventos complementares é o espaço amostral

PROBABILIDADE

Seja o espaço amostral

A = { a₁, a₂, a₃, ..., a_k }

Associemos a cada ponto amostral um número real p { a_i } ou p_i chamado de probabilidade do evento { a_i }, ou probabilidade de ocorrência do ponto amostral a_i, tal que:

1) 0 <= p_i <= 1

2) p₁+p₂+p₃+...+p_k = 1

Define-se então como probabilidade do evento E a relação entre o número de elementos do referido evento e o número de elementos do espaço amostral, ou seja:

p(E) = n(E)/n(A)

Exemplo: Qual a probabilidade no lançamento de um dado, da face voltada para cima ser um número menor que 4 ?

Temos que:

E = {1,2,3} --> n(E) = 3

A = {1,2,3,4,5,6} --> n(A) = 6

Logo:

p(E) = 3 / 6 = 1/2

CONCEITOS E PROPRIEDADES DAS PROBABILIDADES

Consideremos a união dos conjuntos A e B, conforme a figura abaixo:

Considerando T o espaço amostral. Pela teoria dos conjuntos, temos que:

n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

Pela definição de probabilidade, temos que:

n(AUB)/n(A) = [n(A) + n(B) - n(A∩B)]/n(T)

ou ainda

n(AUB)/n(T) = n(A)/n(T) + n(B)/n(T) - n(A∩B)/n(T)

ou seja

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Exemplo: uma urna contem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Uma bola é extraida ao acaso. Qual a probabilidade desta ser múltiplo de 5 e 6 ?

Consideremos:

X: múltiplo de 5 --> X = {5,10,15,20,25,30}

Y: múltiplo de 6 --> Y = {6,12,18,24,30}

Então:

P(X) = 6/30 = 1/5

P(Y) = 5/30 = 1/6

P(X∩Y) = 1/30

Então:

P(X∩Y) = 1/5 + 1/6 - 1/30 = 10/30 = 1/3

PROBABILIDADE CONDICIONAL (OU CONDICIONADA)

Quando sabemos da ocorrência de um evento, geralmente se modifica a probabilidade do outro. Este caso chama-se de probabilidade condicionada e a representamos assim:

P(X/Y) = P(X∩Y)/P(Y)

ou

P(Y/X) = P(X∩Y)/P(X)

Exemplo: uma urna contem 5 bolas gravadas com as letras M, O, O, R, R. Extraindo-se uma a uma, qual a probabilidade de obtermos a palavra MORRO ?

Temos que o evento F é a interseção dos eventos:

E₁: bola com M

E₂: bola com O

E₃: bola com R

E₄: bola com R

E₅: bola com O

Então:

P(F) = P(E₁).P(E₂|E₁).P(E₃|E₁E₂....P(E₅|E₁E₂E₃E₄) = 1/5.2/4.2/3.1/2.1 = 2/60 = 1/30

Observação: de forma geral, podemos ter a probabilidade dos eventos condicionados representada por:

P(F) = ∑ⁿ_i=1 P(E_i) . P(F/E_i)

onde E₁, E₂, E₃, ... é uma partição e F um evento qualquer do espaço amostral.

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

Da forma geral da probabilidade condicionada podemos explicitar um teorema importante, ou seja:

P(Y) = P(X₁∩Y) + P(X₂∩Y) + P(X₃∩Y) + ... + P(X_n∩Y)

Exemplo: uma urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 brancas. Outra urna II tem 3 bolas vermelhas e uma branca e outra terceira urna III tem 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela extraída uma bola. Qual a probabilidade desta bola ser vermelha ?

Temos os eventos:

E₁: sai a urna I

E₂: sai a urna II

E₃: sai a urna III

Estes eventos determinam uma partição do espaço amostral.

Se tivermos o evento V : sai uma bola vermelha, podemos afirmar que:

P(V) = P(E₁∩V) + P(E₂∩V) + P(E₃∩V)

Pela multiplicação sucessiva das probabilidades, temos que:

P(E₁∩V) = 1/3 . 2/5 = 2/15

P(E₂∩V) = 1/3 . 3/4 = 1/4

P(E₃∩V) = 1/3 . 4/6 = 2/9

Então:

P(V) = 2/15 + 1/4 + 2/9 = 109/180

INDEPENDÊNCIA DE DOIS EVENTOS

Dado 2 eventos X e Y de um espaço amostral A, diremos que X independe de Y se p(X|Y) = p(X), isto é, X independe de Y se a ocorrência de X não afeta a probabilidade de Y.

Obs:

Se X independe de Y então Y independe de X, ou seja, se p(X/Y) = p(X) então p(Y/X) = p(Y). Neste caso, então p(X∩Y) = p(X) . p(Y). Exemplo: dois praticantes de tiro ao alvo, A e B, apresentam a seguinte probabilidade de acertar o alvo:

P(A) = 1/3 e P(B) = 2/3

Como A e B são independentes, qual a probabilidade de A e B acertarem o alvo?

Como p(A∩B) = p(A).p(B)

Então:

P(A∩B) = 1/3 . 2/3 = 2/9

Observação: generalizando a propriedade, temos que:

P(E₁∩E₂ ... ∩E_n) = P(E₁).p(E₂)...P(E_n)

LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE (BERNOULLI)

Seja uma sequência de experimentos independentes, isto é, a probabilidade de um resultado independe do outro. Se em cada experimento puder ocorrer dois resultados, um chamado de "sucesso" e o outro de "fracasso" caracterizamos os experimentos de Bernoulli.

Para este tipo de experimento, onde:

p = sucesso e q = fracasso

Se tivermos os eventos:

E₁: ocorre sucesso no experimento X_i, ou seja p(X_i) = p

E₂: ocorre fracasso no experimento X_i^c, ou seja p(X_i^c) = q

Podemos, neste caso, empregar a lei binomial para o cálculo da probabilidade, ou seja, p_k=C_n,k.p^k.q^n-k.

Exemplo: numa cidade 10% das pessoas possuem carro da marca X. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuirem carro da marca X ?

Seja:

Sucesso: a pessoa tem carro da marca X.

Fracasso: a pessoa Não tem carro da marca X.

Então:

p=0,1; q=0,9; n=30.

Aplicando a lei binomial, temos:

P_k=C_30,5.0,1⁵.0,9²⁵=0,102

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 8 ou dois números iguais ?

O espaço amostral seria:

A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).....(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Os eventos seriam:

E₁ : soma 8 ; n(E₁) = 5 --> p(E₁) = 5/36;

E₂ : números iguais ; n(E₂) = 6 --> p(E₂) = 6/36 = 1/6;

Então:

P(E₁UE₂) = 5/36 + 6/36 - 1/36 = 10/36 = 5/18

2.Uma urna contem x bolas brancas e 3x bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Uma bola é extraída ao acaso. Determine o menor valor possível de x a fim de que a probabilidade de a bola ser sorteada ser preta seja maior que 70%. Pelos dados temos que:

3x/(4x + 3) > 0,7

Resolvendo temos que:

0,2x > 2,1 ou seja x > 10,5

Como x deve ser inteiro logo x = 11.

3. Uma urna tem 3 bolas brancas e duas pretas. Extraindo-se 2 bolas simultaneamente, calcule a probabilidade de serem uma de cada cor. O espaço amostral é: C_5,2 = 10. Como temos 2 bolas pretas e 3 brancas o total de ocorrências para uma de cada cor será:

2 x 3 = 6

A probabilidade será então 6/10 ou seja 3/5.

4. Se no problema anterior as bolas fossem retiradas uma a uma com reposição, qual seria a nova probabilidade? Neste caso seriam eventos independentes, logo teríamos que somar as suas probabilidades. Então, teríamos:

Se primeiro branca e depois preta : P(E₁) = 3/5 . 2/5 = 6/5;

Se primeiro preta e depois branca : P(E₂) = 2/5 . 3/5 = 6/5;

A probabilidade total seria então 12/25.

5. Uma clinica especializada trata de 3 tipos de moléstias: A, B e C. 60% dos que procuram a clínica são portadores da moléstia A, 30% são portadores de B e 10% de C. As probabilidades de cada moléstia nesta clinica são, respectivamente, 0,8 ; 0,9 ; 0,75. Um doente sai curado da clinica. Qual a probabilidade de que ele sofresse da molésta B?

Pelos dados podemos representar conforme figura abaixo:

Então, temos:

P(B e curado) = 0,3 x 0,9 = 0,27

P(curado) = 0,6 x 0,8 + 0,3 x 0,9 + 0,1 x 0,75 = 0,825

Logo:

P(B/curado) = P(B e curado)/P(curado)

Ou seja:

P(B/curado) = 0,27/0,825 = 0,3273 ==> 32,7%

6. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual a probabilidade de observarmos, no máximo, 3 caras? Então, temos :

n = 8 ( número de vezes)

p = 1/2 (probabilidade de dar cara)

q = 1/2 (probabilidade de não dar cara)

Usando a lei binomial podemos ter:

P₍₀₎ = C_8,0.(1/2)⁰.(1/2)⁸ = 1/256

P₍₁₎ = C_8,1.(1/2)¹.(1/2)⁷ = 8/256

P₍₂₎ = C_8,2.(1/2)².(1/2)⁶ = 28/256

P₍₃₎ = C_8,3.(1/2)³.(1/2)⁵ = 56/256

Então:

P(dar no máximo 3 caras) = 93/256 = 0,36

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. De um grupo de 200 pessoas, 160 tem fator Rh positivo, 100 tem o tipo O e 80 tem fator Rh positivo e tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de acontecer:

a) ter seu sangue com fator Rh positivo?

b) seu sangue não ser do tipo O?

Resp. a) 4/5 e b) 1/2

2. Um grupo é constituido por 8 homens e 6 mulheres. Quatro pessoas são selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam homens ?

Resp. 0,825

3. Jogando-se tres dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja superior a 15?

Resp. 0,046

4. A probabilidade de um guarda aplicar quatro ou mais multas em um dia é de 64%. A probabilidade de aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. Qual a probabilidade dele aplicar exatamente quatro multas?

Resp. 0,20

6. A probabilidade de um satélite ser recuperado com algum aproveitamento é de 1/10. Se tres satélites são lançados, qual a probabilidade de se recuperar apenas um satélite?

Resp. 0,243

Fonte: http://mscabral.pro.br/sitemauro/aulas/probabi.htm

Adaptação: superdotado Álaze Gabriel.