Blog “Ciências Exatas
Contemporâneas”, de autoria de Álaze Gabriel. Disponível em http://cienciasexatascontemporaneas.blogspot.com/
INTRODUÇÃO
A matemática é a
ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o homem utiliza a
matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A matemática foi
usada pelos egípcios na construção
de pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram
vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias
áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química etc. Podemos
dizer, que em tudo que olhamos existe a matemática.
O que se pretende discutir é a importância, a
função, a necessidade da matemática na nossa vida. Como surgiram os números? A
matemática que conhecemos hoje, o cálculo, a álgebra, de algum lugar, em alguma
época surgiram.
Não se pode datar o exato aparecimento da
matemática, mas sabe-se que suas noções básicas são a escrita, pois a linguagem
de sinais é bem mais fácil de ser concretizada do que a construção de frases
bem moduladas que expressem idéias.
ABAIXO, UM PEQUENO HISTÓRICO DA EVOLUÇÃO
HISTÓRICA DA MATEMÁTICA:
4000 a.C. - Na Mesopotâmia,
os sumérios
desenvolvem um dos primeiros sistemas numéricos, composto de 60 símbolos.
520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de
Cnido define e explica os números irracionais.
300 a.C. - Euclídes desenvolve teoremas
e sintetiza diversos conhecimentos sobre geometria. É o início da Geometria
Euclidiana.
250 - Diofante estuda e desenvolve
diversos conceitos sobre álgebra.
500 - Surte na Índia um símbolo para
especificar o algarismo zero.
1202 - Na Itália, o matemático Leonardo
Fibonacci começa a utilizar os algarismo arábicos.
1551 - Aparece o estudo da trigonometria,
facilitando em pleno Renascimento
Científico, o estudo dos astros.
1591 - O francês François Viète
começa a representar as equações matemáticas, utilizando letras do alfabeto.
1614 - O escocês John Napier
publica a primeira tábua de algorítimos.
1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descartes desenvolve uma nova disciplina matemática: a geometria analítica, com a misitura de álgebra e geometria.
1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descartes desenvolve uma nova disciplina matemática: a geometria analítica, com a misitura de álgebra e geometria.
1654 - Os matemáticos franceses Pierre
de Fermat e Blaise Pascal desenvolvem estudos sobre o cálculo de
probabilidade.
1669 - O físico e matemático inglês
Isaac Newton desenvolve o cálculo diferencial e integral.
1685 - O inglês John Wallis cria os
números imaginários.
1744 - O suíço Leonard Euler desenvolve
estudos sobre os números transcendentais.
1822 - A criação da geometria projetiva
é desenvolvida pelo francês Jean Victor Poncelet.
1824 - O norueguês Niels Henrik Abel conclui
que é impossível resolver as equações de quinto grau.
1826 - O matemático russo Nicolai
Ivanovich Lobachevsky desenvolve a geometria não euclidiana.
1931 - Kurt Gödel, matemático
alemão, comprova que em sistemas matemáticos existem teoremas que não podem ser
provados nem desmentidos.
1977 - O matemático norte-americano
Robert Stetson Shaw faz estudos e desenvolve conhecimentos sobre A Teoria do
Caos.
1993 - O matemático inglês Andrew Wiles
consegue provar através de pesquisas e estudos o último teorema de Fermat.
O QUE DEMANDOU NO HOMEM A NECESSIDADE DE SE
EXPRESSAR MATEMATICAMENTE? A NECESSIDADE PRÁTICA OU A
PURA ABSTRAÇÃO?
Alguns estudiosos defendem que a matemática teria
surgido de necessidades práticas urgentes do homem, como a demarcação de áreas,
o levantamento de seu rebanho, partindo para a valoração de objetos (dinheiro).
Outros já definiam que a matemática teria surgido do lazer de uma classe de
sacerdotes ou de rituais religiosos.
O fato é que a matemática é presente em nosso dia a
dia de tal forma que não podemos, não devemos e, certamente, não queremos nos
distanciar dela.
As funções mais rotineiras de nossa vida têm sido
realizadas por computadores: desde uma conta, até o controle de nosso dinheiro
no banco, nosso pagamento de salário, e muitas outras atividades são
controladas por máquinas que são por sua vez, apoiadas na matemática.
Existe uma tendência cada vez mais crescente da
"matematização do mundo". Parece mesmo ser de senso comum que todo e
qualquer problema cotidiano possa ser equacionado. Ou seja, será que tudo na
nossa vida pode ser expresso como ax + by = c ou outra equação ou inequação
qualquer?
E, VOLTANDO AO ASSUNTO, DE ONDE VÊM OS A, B, C, X E
Y ? QUEM OS INVENTOU E PORQUE?
Os documentos históricos encontrados pela
arqueologia que fornecem um pouco de informação a respeito das origens da
matemática começam com os egípcios.
Costumava-se definir a matemática como a ciência do
número e grandeza. Isso já não é válido pois certamente a matemática é muito
mais do que números e grandezas. Hoje a matemática que conhecemos é
intelectualmente sofisticada.
Mas desde os primeiros tempos da raça humana, os
conceitos de número, grandeza e forma ocupam a mente e formam a base do
raciocínio matemático. Originalmente, a matemática preocupava-se com o mundo
que nos é perceptível aos olhos, como parte da vida cotidiana do homem. Pode-se
inclusive tentar relacionar a persistência da raça humana no mundo com o
desenvolvimento matemático, se assumirmos válido o princípio da
"sobrevivência do mais apto".
No princípio, as relações de grandeza estavam
relacionadas mais com contrastes do que com semelhanças - a diferença entre um
animal e outro, os diferentes tamanhos de um peixe, a forma redonda da lua e a
retilínea de um pinheiro.
Acredita-se que o conjunto dessas informações
imprecisas deve ter dado origem a pensamentos de analogias, e aí começa a
nascer a matemática.
A percepção das duas mãos, das duas orelhas,
narinas, propriedade abstrata que chamamos número, foi um grande passo no
caminho da matemática moderna.
A probabilidade de que isso tenha surgido de um só
indivíduo é pouca. É mais provável que tenha surgido de um processo gradual e
que pode datar de 300.000 anos, tanto quanto o descobrimento do fogo.
O desenvolvimento gradual do conceito de número
pode ser rastreado em algumas línguas, o grego inclusive, que conservaram na
sua gramática uma distinção entre um e dois e mais de dois.
Os antepassados só contavam até dois. Qualquer
quantidade maior que isso era dito como muitos. Resquícios desse comportamento
é visível em alguns povos primitivos que ainda contam de dois em dois.
Finalmente surgiu a necessidade de expressar os
números através de sinais. Os dedos das mãos e dos pés forneciam uma
alternativa para indicar um número até 20. Como complemento podia-se usar
pedras. Começando a noção de relação de conjuntos: aquilo que se deseja contar,
com aquilo que serve de unidade.
O sistema decimal que hoje utilizamos é, segundo
Arquimedes, apenas um incidente anatômico pois baseia-se no número de dedos das
mãos e pés.
Como pedras são efêmeras para se registrar números,
o homem pré-histórico utilizava, às vezes, marcas ou riscos num bastão ou
pedaço de osso.
Peças arqueológicas são uma importante fonte de
informação sobre o desenvolvimento das noções de números e indicam que essas
idéias são mais antigas que os processos tecnológicos como o uso de metais ou
de veículos com rodas.
Existem indicadores na língua a respeito das idéias
do homem sobre número, como no caso do número onze e doze. Eleven significava
originalmente um a mais e twelve, dois a mais, ficando clara a adoção do
sistema decimal.
Mais tarde, gradativamente, foram surgindo palavras
que exprimiam idéias numéricas. Sinais para números provavelmente precederam as
palavras para números (é mais fácil fazer incisões num bastão do que
estabelecer uma frase para identificar um número).
A tendência da linguagem de se desenvolver do
concreto para o abstrato pode ser percebida em muitas das medidas de
comprimento em uso atualmente: a altura de um cavalo é medida em palmos e as
palavras pé e ell (cotovelo) também derivaram de partes do corpo.
Ainda não é possível fazer afirmações a respeito da
idade da matemática, tanto aritmética quanto geométrica. Heródo e Aristóteles
apresentaram suas teorias. O primeiro sugerindo que a geometria se originou no
Egito, devido à necessidade pratica de se fazer medidas de terra a cada
inundação causada pela cheia do Nilo. Já Aristóteles sugeriu que a geometria
teria surgido de uma classe de sacerdotes do Egito, como lazer.
O certo é que o homem neolítico já possuía noções
que deram inicio à geometria, o que pode ser evidenciado pelas peças
arqueológicas descobertas com desenhos geométricos, com relações de congruência
e simetria.
De fato o que parece evidente é que a matemática
tenha surgido muito antes das primeiras civilizações e é desnecessário e
sujeito a erros grotescos, tentarmos datar ou dar um motivo específico para o
surgimento de cada fase. A geometria pode ter se desenvolvido da necessidade de
demarcação de espaços, do gosto por formas precisas, de rituais primitivos, ou
seja, vários seriam os caminhos para levar ao início dessa habilidade do homem.
BABILÔNIA
Por
volta dos séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na Babilônia. Os
babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o
que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência
organizada.
Na
Babilônia, a matemética era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos
tesouros reais. Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e
egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da
palavra, a partir dos séculos VI e V A.C., na Grécia.
A
matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de
encará-la. Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação
de suas aplicações práticas.
Do
ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por
ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e
continuidade. As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas
fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.
O
método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas
preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um
encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.
As
dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a
processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez
sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à
geometria.
Realmente,
é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides,
intitulada "Os Elementos". Sucedendo Euclides, encontramos os
trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.
Arquimedes
desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de
exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um
importante ramo de matemática (teoria dos limites). Apolônio de Perga,
contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas
cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática
atual, papel muito importante.
No
tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do
mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a
cidade de Alexandria.
Depois
de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso. A 10 de
dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os
exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a
cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em
eclipse.
Mas
a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a
matemática entra num estado latente. Os árabes, na sua arremetida, conquistam a
Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a
Aritmética. Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de
numeração até então conhecido: o ZERO.
Isto
causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular". Dá-se início à
propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os
denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.
Um
dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe
Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultaram em nossa língua as
palavras algarismos e Algoritmo. Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr
Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa
obra que se origina o nome Álgebra).
A
matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar. No ano
1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de
"Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada
"Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular"
(Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do
1º, 2º e 3º graus.
Nessa
época a Álgebra começa a tomar o seu aspecto formal. Um monge alemão. Jordanus
Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e
ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p
(plus = mais) e m (minus = menos).
Outro
matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e
menos (-), como nós os utilizamos atualmente. É a álgebra que nasce e se põe em
franco desenvolvimento. Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do
matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".
Nela
os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números,
segmentos de retas, entes geométricos etc. No século XVII, a matemática toma
nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat. A grande
descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica"
que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.
Pierre
Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática. Desenvolveu
a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma
tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais
tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.
Vemos
assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da
matemática, conhecido como Análise Matemática. Ainda surgem, nessa época,
problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente
estudados por Galileu Galilei. Tais problemas dão origens a um dos primeiros
descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.
O
Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton
(1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde
redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz.
A
Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática.Seduzidos
por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e
despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas.
Mas
nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude
racional no desenvolvimento da ciência. Não tardaram as consequências de tais
procedimentos, começando por aparecer contradições.
Um
exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:
S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3........... supondo que se tenha um nº
infinito de termos. Se
agruparmos as parcelas vizinhas teremos: S = (3 - 3) + (3 - 3)
+ ...........= 0 + 0 +.........= 0. Se
agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:
S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... =
3.
O
que conduz a resultados contraditórios. Esse "descuido" ao trabalhar
com séries infinitas era bem característicos dos matemáticos daquela época, que
se acharam então num "beco sem saída'. Tais fatos levaram, no ocaso do
século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da
matemática.
Pode-se
afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática. Essa
revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 -
1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris. Cauchy realizou
notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos
duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries"
e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".
Paralelamente,
surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não
euclidianas. Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a
influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos
matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra
"Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie"
título do original), publicada em 1901.
A
Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos. Um problema que preocupava os
matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por
meio de fórmulas que aparecessem com radicais.
Já
se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a
seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções
por meio de radicais?
Em
trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde
(1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução. À medida em
que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia
se evidenciando que isso não era possível.
No
primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois
(1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto
grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais.
O
trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada
"teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando
também grande impulso à teoria dos números.
Com
respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind
e Gorg Cantor. R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de
"Corte". Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de
maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a.
A
partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas
disciplinas, que ficam dada vez mais abstratas. Atualmente se desenvolvem tais
teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas.
Os
entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da
Matemática, e que neste últimos cinquenta anos tem se criado tantas disciplinas,
novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores.
Esta
arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada
prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência".
A
história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia
matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações
práticas.
Fonte:
LISA - Biblioteca da Matemática Moderna
EGITO
Antes do quarto milênio a.C. um forma primitiva de
escrita estava em uso na Mesopotâmia. Num processo gradual evoluíram os
primitivos registros pictográficos para uma ordem linear de símbolos mais
simples. Surge a escrita cuneiforme, que dava significado pelos arranjos das
marcas em cunha.
Foi encontrada uma rocha A Pedra Rosetta, em 1799,
egípcia, que trouxe muitas informações a respeito dos números. Encontrou-se uma
numeração hieroglífica que baseava-se no sistema decimal. Determinados símbolos
indicavam valores de 10, 100, 1.000, 10.000 e 100.000. Por repetição desses
símbolos, escrevia-se o número desejado.
As pirâmides egípcias exibiam tão alto grau de
precisão na construção e orientação que lendas surgiram em torno delas. A
sugestão de que a razão do perímetro da base da pirâmide Queops, para a altura
foi conscientemente posta no valor 2p está em desacordo com o que se sabe da
geometria dos egípcios.
Aos egípcios também podemos atribuir a autoria do
primeiro calendário. Tendo-se interessado pela observação dos astros,
concluíram que a inundação anual do Nilo ocorria pouco depois que a estrela
Siriús se levantava a leste, logo antes do sol. Assim, como essas aparições da
Siriús ocorriam em intervalos de 365 dias, os egípcios estabeleceram um
calendário solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias
de festa.
Ocorre que esse ano oficial era curto demais por um
quarto de dia e foram necessárias correções pois a cada quatro anos, as
estações avançavam em um dia. Outra fonte de informação sobre a matemática
antiga, além dos escritos hieroglíficos, são alguns papiros egípcios de mais de
três milênios de idade.
O maior deles, conhecido como Papiro de Rhind ou
Papiro Ahmes usa uma escrita chamada hierática, diferente da hieroglífica. A base ainda é o sistema decimal, mas já são
adotados sinais especiais para representar dígitos e múltiplos de potências de
dez. O número quatro, por exemplo, não é mais representado com quatro barras
verticais mas com uma barra horizontal. E assim por diante com outros números.
O homem da Idade da Pedra não tinha necessidade de
usar frações pois podia tomar como unidade a menor porção possível. Mas as
culturas posteriores, Idade do Bronze, começaram a sentir necessidade de
trabalhar com frações. Existe uma notação especial para uma fração na escrita
hieroglífica e hierática.
Os egípcios trabalhavam bem com a fração 2/3, para
a qual tinham um sinal hierático. Tanto que para achar um terço de um número,
primeiro achavam 2/3 e tomavam a metade disso. Conheciam usavam o fato de que dois terços da
fração unitária 1/p ser a soma de duas frações unitárias 1/2p e 1/6p, e sabiam
que o dobro da fração 1/2p é a fração 1/p.
É interessante verificar o modo como os egípcios
encaravam frações de forma geral m/n. Não como uma "coisa" elementar,
mas como parte de um processo incompleto. Por exemplo, a fração 3/5, para nós
irredutível, era pensada como soma de três frações unitárias 1/3 + 1/5 + 1/15.
O papiro de Rhind fornece uma tabela para a
transformação de frações gerais em somas de frações unitárias. Começa
fornecendo 2/n como soma de frações unitárias, para todos os valores ímpares de
n de 5 a 101. E assim outros equivalentes.O último item da tabela decompõe
2/101 em 1/101 mais 1/202 mais 1/303 mais 1/606. Isso mostra uma habilidade
aritmética que é difícil de encontrar mesmo atualmente, apesar de nossos
recursos técnicos e tecnológicos.
O tipo de combinação de frações escolhidas não é
explicada. O porque de uma certa combinação e não outra, fica sem resposta. O mais curioso que é saber como se desenvolve na
mente, no raciocínio do escriba, o método para combinar as frações unitárias,
permanece um mistério.
Ahmes começa sua obra garantindo que ela
"forneceria um estudo completo e minucioso de todas as coisas... e o conhecimento
de todos os segredos", por isso a parte principal do papiro que se segue
às tabelas é composta de oitenta e quatro problemas sobre questões variadas. Os
problemas geralmente usam cerveja, pão e coisas do cotidiano para se expressar.
A operação aritmética fundamental no Egito era a
adição. A multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes por
sucessivas duplações. Um exemplo: a multiplicação de 69 por 19 seria efetuada
somando 69 com ele mesmo para obter 138, depois adicionando a si próprio para
alcançar 276, novamente duplicando para obter 552 e mais uma vez, dando 1104,
que é dezesseis vezes 69. Como 19 = 16 + 2 + 1, o resultado da multiplicação de
69 por 19 é 1104 + 138 + 69, ou seja, 1311.
Na divisão, inverte-se o processo de "duplação",
e o divisor é dobrado sucessivamente em vez do multiplicando. Identifica-se, também, em alguns problemas o
uso da propriedade de comutatividade da multiplicação. No papiro Ahmes encontram-se ainda muitos
problemas que mostram conhecimento de manipulações equivalentes a regra de
três.
A maioria dos problemas são do tipo
"aritmético", mas já aparecem alguns do tipo "algébrico",
em que pede-se a solução para uma incógnita numa equação linear da forma x + ax
= b ou x + ax + bx = c, onde a, b e c são conhecidos e x é a incógnita.
Não há comprovações de que os egípcios conheciam o
Teorema de Pitágoras, mas existem problemas geométricos no papiro Ahmes, que
mostram que tinham conhecimento de como calcular a área de um triângulo
isósceles, tratando-o como dois triângulos retângulos, deslocando-se um deles
de modo que os dois juntos formam um retângulo.
Começa a ser utilizada uma teoria sobre congruência
e já são utilizadas provas matemáticas. O problema com a geometria dos egípcios
é que lhes faltava uma clara distinção entre o que era exato e o que era
aproximação.
No entanto, a regra dos egípcios para achar a área
do círculo é considerada um dos maiores sucessos da época: Ahmes assume que a
área de um campo circular com diâmetro de nove unidades é a mesma de um
quadrado com lado de oito unidades. Significa que o valor encontrado para p
(atualmente a área do círculo é dada por p r2) é 31/6. Mas mesmo assim não dá
sinais de saber que a área do círculo e do quadrado não são exatamente iguais.
Não se conhecem teoremas ou demonstrações formais
da matemática egípcia, mas as comparações sobre perímetros, áreas de círculos e
quadrados são as primeiras afirmações precisas da história a respeito de
figuras curvilíneas.
Apesar de tudo isso os egípcios não evoluíram muito
em sua matemática. A matemática de Ahmes era a de seus antepassados. A vida
estável, tranqüila do povo egípcio parece não ter motivado seus progressos na
área do cálculo.
A grande maioria dos problemas apresentados por
Ahmes e em outros papiros encontrados daquele tempo, dizem mais respeito a
aritmética e geometria práticas. Não houve desenvolvimento de teorias formais.
Cada solução era encontrada especificamente para determinado problema. Contudo historiadores dizem que a matemática
grega deve ter se baseado na dos egípcios. A Mesopotâmia oferece mais detalhes do
desenvolvimento da Matemática.
Quase
tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois
grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.
O
primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de
comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês
chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind.
Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres.
O
Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de
largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada
sobre o seu autor.
A TÉCNICA DE CALCULAR DOS EGÍPCIOS
Com
a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os
cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de
cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através
de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser
adicionado treze vezes.
13
* 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9.
A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:
Eles
buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três
colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13
O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
9 + 36 + 72 = 117
Os
egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números
inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de
expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os
números inteiros não serviam.
DESCOBRINDO A FRAÇÃO
Por
volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...
"...
repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio
levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem
e determinarem por medida a extensão exata da perda."
Estas
palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300
anos.
O rio Nilo atravessa uma vasta planície.
O rio Nilo atravessa uma vasta planície.
Uma
vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de
seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando
as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis,
prontas para o cultivo.
Desde
a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a
agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se
desenvolveu a civilização egípcia.
Cada
metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado. Sesóstris
repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a
subir. Era o início da inundação, que durava até setembro.
Ao
avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada
agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor. Usavam
cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria
corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas
vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem
conhecidas como estiradores de cordas.
No
entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida,
dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno. Foi por essa
razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.
Para representar os números fracionários, usavam frações.
AS COMPLICADAS FRAÇÕES EGÍPCIAS
Os
egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso,
utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para
escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o
denominador.
As
outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os
egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os
símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.
No
sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por
isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam
números fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros
povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de
efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre
esbarravam em alguma dificuldade.
Apenas
por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem
mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de
numeração romano.
MESOPOTÂMIA
As civilizações antigas da Mesopotâmia são
comumente chamadas de babilônicas, apesar de que a cidade de Babilônia não foi
o centro de cultura do vale Mesopotâmico.
A região sofreu diversas invasões de outros povos,
mas que ao invés de interferirem negativamente em sua cultura, ao contrário
aprenderam e adotaram muitos conhecimentos dos mesopotâmicos.
A escrita era a cuneiforme, que talvez tenha
surgido até mesmo antes da hieroglífica dos egípcios. O fato é que as
cerâmicas, tabuletas, com escrita cuneiforme fornecem muito mais informação dos
que os papiros egípcios devido a sua conservação.
Ao contrário da maioria das civilizações o sistema
numérico mesopotâmico tinha como base o valor sessenta. Acredita-se que o
sistema de base sessenta tenha sido usado por ser possível sua subdivisão em
metades, quartos, quintos, sextos, décimos, etc...até dez divisões são
possíveis.
Até hoje, o sucesso desse sistema se reflete em
nossas unidades de tempo e medida de ângulos.
Aos babilônios se deve a invenção do sistema
posicional. Com apenas seus símbolos para unidades e dezenas, podiam
representar qualquer número, por maior que fosse, por repetição e mudança de
posição. Este é o mesmo princípio de nosso sistema numeral.
Nosso número 222 usa o mesmo algarismo três vezes,
com significado diferente de cada vez: uma vez vale duas unidades, outra vale
duas dezenas e a última duas centenas (duas vezes o quadrado da base dez).
Quando escreviam,
separando claramente grupos de dois símbolos, entendiam que o primeiro grupo a
direita representava duas unidades, o segundo o dobro de suas base (60) e o
terceiro, o dobro do quadrado de sua base. Portanto esse numeral indicava
2(60)2 + 2(60) + 2 = 7322 (em nossa notação).
Os babilônios, a principio parecem não ter tido um
modo de representar o vazio (zero). Não havia notação para zero, embora às
vezes deixassem um espaço em branco para indicar zero. Isso confundia as formas
escritas para alguns números como 22 e 202. Criou-se, mais tarde, um símbolo
para zero, mas que só era usado em posições intermediárias.
A superioridade matemática dos mesopotâmicos sobre
os egípcios está em que aqueles estenderam a notação posicional às frações. O
que significa que a notação decimal das frações que conhecemos já era por eles
conhecida, sendo que foram capazes de calcular a raiz quadrada de dois com até
três casas sexagesimais. Já manipulavam bem, equações usando palavras como
incógnitas, num sentido abstrato. Conheciam bem o processo de fatoração.
A resolução de equações quadráticas e cúbicas também
os coloca em destaque com relação a matemática dos egípcios. Este tipo de
resolução é um feito notável, admirável não tanto pelo alto nível de habilidade
técnica quanto pela maturidade e flexibilidade dos conceitos algébricos
envolvidos. E por que se espantar com seu alto nível e amadurecimento, se foi
deles que aprendemos o que sabemos e que nos autoriza a elogiá-los?
O que certamente nos dá essa autorização é o nosso
simbolismo algébrico, sem o qual não podemos ter certeza de entender o
raciocínio da matemática primitiva.
Assim, para nós, é fácil ver que (ax)3 + (ax)2 = b
é essencialmente o mesmo tipo de equação que y3 + y2 = b, mas reconhecer isso
sem nossa notação é uma realização de significado muito maior para o
desenvolvimento da matemática que até mesmo o princípio posicional na
aritmética.
Algum desenvolvimento geométrico pode ser
constatado com tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo.
Apesar de não se poder ter certeza, acredita-se que os Mesopotâmicos conheciam
também as fórmulas gerais de progressão geométrica e a soma dos n primeiros
quadrados perfeitos. No entanto, como nos papiros egípcios, as tabuletas
Mesopotâmicas não descreviam os procedimentos mas apenas davam as questões e os
resultados.
O Teorema de Pitágoras não se encontra expresso em
nenhuma tabuleta ou lista, mas certamente era conhecido e usado e não só em
triângulos isósceles. Foi encontrado um problema em que uma escada ou prancha
de comprimento 0;30 (1/2 na nossa notação) está apoiada a uma parede; a questão
é de quanto a extremidade inferior se afastará da parede se a superior
escorregar para baixo de uma distância de 0;6 unidades? A resposta é encontrada
corretamente usando o teorema de Pitágoras.
Toda a matemática desenvolvida por babilonios e egípcios
dá a entender que se originava de questões concretas, imediatas. Mas, mesmo
assim, há alguns indícios de abstração e de matemática por recreação.
GRÉCIA
Nos
documentos históricos sobre a matemática grega, como já descreveu Wallis, não
se encontram indicações da natureza do raciocínio utilizado para se alcançar os
resultados. Tudo é expresso de forma limpa, direta, perfeita, o que não condiz,
é claro, com a realidade na solução de problemas. Segundo Wallis, sobre
Arquimedes: "é como se seu propósito fosse apagar os rastros de suas
investigações, como se ele tivesse negado à posteridade o segredo de seus
métodos de inquirir enquanto desejava extorquir deles anuência para os seus
resultados".
Considera-se
que a matemática grega começou com Tales (c. 585 a.C.) e com Pitágoras (c.550
a.C.). As informações sobre os matemáticos daquele tempo até Platão (c. 347
a.C.) foram obtidas de testemunhos, de depoimentos que não forneciam os métodos
e as provas das conquistas alcançadas.
Tales
é considerado o primeiro matemático, pois lhe são atribuídas descobertas
matemáticas específicas. Sabe-se que Tales viajou ao Egito e Babilônia onde
teria aprendido que um ângulo inscrito num semi-círculo é reto. No entanto,
atribui-se a ele a demonstração desse teorema e de outros quatro da geometria.
Por isso Tales foi considerado o originador da organização dedutiva da
geometria.
Credita-se
aos gregos, com segurança, a introdução da estrutura lógica à geometria, mas
não se sabe se devido à Tales ou a outros depois dele.
Outro
personagem de destaque no mundo grego é Pitágoras. Este não era só um
matemático, mas um filósofo, envolvido especialmente com religião e até mesmo
política. Contemporâneos de Pitágoras são Buda, Confúcio e Lao-Tse,
caracterizando, portanto, esse tempo como de intensa atividade religiosa.
Pitágoras,
de volta do Egito e Babilônia (como Tales), fundou uma sociedade secreta que
tinha base matemática e filosófica. Não se costuma falar em descobertas de
Pitágoras, mas sim dos pitagóricos, pois a sociedade por ele fundada, além de
secreta tinha por norma que o conhecimento era comunitário, não sendo atribuído
a um autor apenas.
Uma
característica notável na escola pitagórica era a confiança no estudo da
matemática e da filosofia como base moral para a conduta. As palavras filosofia
("amor à sabedoria") e matemática ("o que é aprendido"),
supõe-se terem sido criadas pelo próprio Pitágoras.
Os
pitagóricos desempenharam um importante papel na história da matemática porque
mudaram radicalmente a concepção egípcia e babilônia. A matemática, para os
pitagóricos era incluída na definição de filosofia, os rituais a que eram
submetidos tinham muito de matemática. Para o egípcios e babilonios a
aritmética tinha muito mais a ver com situações práticas e concretas.
Segundo
Aristóteles, para os pitagóricos o número significava matéria. Assim, eles
chamavam um ponto de um, uma reta de dois, uma superfície de três e um sólido
de quatro. A soma de pontos gerava retas, a de retas, superfícies e a de
superfícies, sólidos. De maneira que com seus um, dois, três e quatro, poderiam
construir o universo! O número 10 era especial para os pitagóricos, pela crença
conhecida como tetractys (conjunto de quatro). Pitágoras dizia que contar 1, 2,
3, até 4 era igual a 10, um triângulo perfeito "nosso juramento":
"ele que tem confiado a tetractys à nossa alma, a fonte e a raiz da
natureza eterna".
Realmente,
os pitagóricos revolucionaram o pensamento matemático, pela evidente
característica filosófica que lhe atribuíram. No século III a.C. estabeleceu-se
a estrutura axiomática da matemática, com Euclides, que unificou uma coleção
completa de teoremas isolados num sistema simples e dedutivo. Baseando-se em
postulados iniciais, definições e axiomas.
Assim
começa a real abstração matemática, discutindo-se a existência ou não do
infinito, os números infinitesimais, os paradoxos de Zenon, e as relações do
universo. Se nos fosse possível voltar à época de 640 a.C., na então
florescente cidade de Mileto encontraríamos um próspero comerciante, já muito
famoso, por, entre outras coisas, ter predito um eclipse ocorrido em maio de
585 a.C.
Chama-se Tales, e foi posteriormente incluído entre
os denominados "sete sábios da Antiguidade". Sendo comerciante, teve
oportunidade de tomar contacto com a matemática dos egípcios. A matemática egípcia tinha um caráter
eminentemente prático; não era formada por um corpo de conhecimentos
interligados, mas sim, por conhecimentos esparsos.
Um dos poucos fragmentos de que dispomos dos
conhecimentos matemáticos dos egípcios se acham no denominado papiro de Rhind,
de autoria do escriba Ahmes. Esse papiro
é a assim chamado em honra a um antiquário escocês que o comprou em 1858 de um
mercador da cidade de Luxor, às margens do Nilo. Em tal papiro encontramos as seguintes
palavras (sobre o objetivo mesmo): "direção para saber todas as coisas
obscuras".
EUCLIDES
Pouco se sabe com certeza da vida de Euclides. Sabemos que viveu em Bizâncio entre os anos de 485
a 410 a.C. Nesse tempo, o sábio Ptolomeu I, sucedia a
Alexandre Magno no trono do Egito. Sob seus cuidados, surgiu em Alexandria uma
instituição, denominada "Museu", que congregava a maioria dos sábios
da época. O Museu foi erigido ao lado do palácio real, tinha dependências
residenciais, salas de aula, e de conferências, e o que é mais importante — a
maior biblioteca da época.
Euclides foi o primeiro diretor do Museu, e, graças
a isso, pode organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores (Tales,
Pitágoras, Eudoxo e outros).Tal organização se acha em sua imortal obra,
modestamente intitulada de "Os Elementos'.
"Os Elementos" é um conjunto de 13 livros
dedicados ao fundamento e desenvolvimento lógico e sistemático da geometria.
O primeiro livro trata das questões que são
fundamentais para a geometria, e o seu estilo, sua ordenção, serviram de normas
diretoras para todas as outras obras posteriores da matemática. Os princípios
dos quais parte Euclides para edificar a geometria são as definições, os
postulados e os entes primitivos.
As definições são, no ínicio, em número de 23, e ao
todo, no texto, atingem 120. Por exemplo, no primeiro livro, encontramos as
seguintes definições:
"Ponto é aquilo que não tem partes"
"Reta é o comprimento sem espessura"
"Superfície é o que tem unicamente comprimento
e largura"
"Retas paralelas são aquela que, estando em um
mesmo plano, não se encontram ao serem prolongadas indefinidamente".
Essas definições, agora nos parecem um tanto
ingênuas e despidas de rigor lógico, mas tenhamos em conta a época em que foram
escritas e o pioneirismo de Euclides. Adotando em seguida 10 postulados
Euclides deduz seus teoremas. A partir do dia de seu aparecimento "Os
Elementos" se tornou a obra clássica da Geometria, e de tal modo foi
difundida que chegou a sobrepujar o seu autor, a ponto de, na Idade Média, se
negar a existência física de Euclides.
OS SUCESSOS DE EUCLIDES
Depois de Euclides, dois matemáticos de gabariot
apareceram em Alexandria: Apolônio e Arquimedes, sendo este último considerado
uma das maiores personagens da Antiguidade.
É interessante notar-se que tanto Apolônio como
Arquimedes fizeram suas investigações matemáticas dentro de um espírito
platônico, isto é, na mais alta abstração dos fatos concretos que deram origem
às mesmas.
Apolônio, dedicou-se principalmente ao estudo de
uma família de curvas denominadas de — cônicas.
A razão desta denominação é que tais curvas
resultam de um corte conveniente do cone. Dependendo da maneira como cortamos o
cone, resultará uma circunferência de círculo ou uma elipse, ou uma parábola,
ou ainda uma hipérbole. As curvas cônicas desepenham papel relevante na física
e na matemática atual. As órbitas do planetas são elipses, a trajetória dos
foguetes balísticos são parábolas, os espelhos dos telescópios são parabólicos,
etc.
Apolônio recebeu um apelido curioso de seus discípulos, o de Épsilon, em
virtude de sua sala de aula ser designada pela letra grega épsilon. Podemos
dizer que Apolônio, com a sua obra, deu um "fecho de ouro" na
geometria grega. Mas ele ainda não seria o último; em seguida nos encontramos
com um verdadeiro gênio — Arquimedes de Sirascusa.
ARQUIMEDES — O "NEWTON" GREGO
Arquimedes nasceu na cidade de Siracusa no ano 287
a.C., descendente da família real. Embora da época tão remota podemos considerar
Arquimedes como um moderno em pesamento. Realmente podemos equipará-lo com o
genial físico e matemático inglês Isaac Newton.
Arquimedes não foi só matemático, mas também
iventor. Seus inventos eram baseados no que hoje chamamos de máquinas simples —
alavancas, roldanas, sarilhos. É famosa a sua afirmação (querendo ressaltar os
efeitos de uma alvanca):
"Dai-me um ponto de apoio e eu moverei o
mundo".
Arquimedes construiu muitos engenhos de guerra,
através dos quais a sua cidade, Siracusa, conseguiu resistir às hostes romanas
durante mais de dois anos. Sabe-se que Arquimedes incendiou e destruiu uma
esquadra romana, usando espelhos parabólicas. Aida é sua descoberta o
"parafuso sem fim", o qual utiliza para elevação da água.
Um problema onde Arquimedes mostrou toda a sua
habilidade como matemático foi, sem dúvida, aquele para se calcular a àrea de
um círculo de raio R. Para isso ele usou um raciocínio que só mais tarde (1600
a 1700 d.C.) iria ser utilizado por Newton e Leibniz na invenção do cálculo infinitesimal.
Seja S a área do círculo. Dividimos tal círculo em
número muito grande de partes iguais (por meio de triângulos). Obtemos assim um
polígono cuja área A é menor que S (área do círculo). Coloquem-se agora tais
triângulos sobre uma reta. O segmento AB tem para medida um número que
chamaremos de P. P é o menor que o comprimento de C da circunferência do
círculo.
Com esta tira de triângulos podemos formar um
"retângulo" de altura R (aproximadamente) e base 1/2P, obtido
dobrando-a ao meio (para um número finito de triângulos, temos um
paralelogramo).
A área desse "retângulo" é A e é menor
que S. A área de A se aproximará de S quanto maior for o número de divisões. Se
o número n de divisões for infinito, a área A coincidirá com S e o comprimento
P coincidira com c.
Um outro problema que sempre apaixonou Arquimedes,
e que, segundo ele, era "o mais difícil", foi o de encontrar a
relação entre o volume do cone, da esfera e do cilindro, um colocado dentro do
outro (cone e cilindro equiláteros, inscrito e excrito na esfera)
Uma famosa descoberta de Arquimedes é o conhecido
"Princípio de Arquimedes", da hidrostática, que diz: " Todo
corpo imerso em um fluido recebe deste um empuxo vertical (de baixo para cima)
em intensidade igual ao volume deslocado do fluido".
Conta a lenda (narrada posteriormente pelo
arquiteto romano vitrúvio) que Arquimedes descobriu tal princípio enquanto
tomava banho, e que saiu gritando pelas ruas — "Eureka, Eureka! que quer
dizer "Achei"!
ROMA
De
todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais
importante. Seu centro era a cidade de
Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros
em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de
todos os tipos.
Inicialmente,
para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de
conquistas de novos territórios. Foi
assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o
restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar
de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza,
usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e
festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se
desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a
época das cavernas. Como foi que os
romanos conseguiram isso?
O SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO
Os
romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os
números; usaram as próprias letras do alfabeto, quais sejam: I, V, X, L, C, D e
M. Como será que eles combinaram estes
símbolos para formar o seu sistema de numeração?
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I
tinha o valor 1.
V
valia 5.
X
representava 10 unidades.
L
indicava 50 unidades.
C
valia 100.
D
valia 500.
M
valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores:
II
= 1 + 1 = 2
XX
= 10 + 10 = 20
XXX
= 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores:
IV
= 4 porque 5 - 1 = 4
IX
= 9 porque 10 - 1 = 9
XC
= 90 porque 100 - 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores:
VI
= 6 porque 5 + 1 = 6
XXV
= 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI
= 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX
= 60 porque 50 + 10 = 60
Ao
lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época
MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que
os romanos faziam. Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor:
M = 1.000.
Como
antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor:
D = 500
Depois
tiravam de D o valor da letra que vem antes:
D - C = 500 - 100 = 400
Somavam
400 ao valor de M, porque CD está depois e M:
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava
apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405
OS MILHARES
Como
você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.
Assim,
MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.
E OS NÚMEROS MAIORES QUE 3.000?
Para
escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço
horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço
multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.
Dois
traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romano
foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este
sistema. Por isso, matemáticos de todo o
mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais
apropriados para representar os números.
E
como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis
invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
AFINAL OS NOSSOS NÚMEROS
No
século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam
numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a
arte e a cultura vindas da Grécia.
Ao
participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus
Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer
coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
"Existem
outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm
valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os
cálculos são feitos por apenas nove sinais!".
A
referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante
dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração - a invenção do zero -
ainda não tinha chegado ao Ocidente.
A
idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia - um ovo de
ganso, redondo - ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários
muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
Com
a introdução do décimo sinal - o zero - o sistema de numeração tal qual o
conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler
e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
Hoje,
estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram
o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso?
E POR QUE OS SÍMBOLOS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 SÃO CHAMADOS DE ALGARISMOS? - OS ÁRABES DIVULGAM AO MUNDO OS NÚMEROS HINDUS
Simbad,
o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes
familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e
Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi
o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.
Durante
o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E
como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados
para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em
809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. "Não há ninguém mais culto em todos os
ramos do saber do que eu". Como era
um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro
científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.
Entre
eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos:
al-Khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos
para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles
estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso!
Logo,
al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam
descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos
de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância
que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.
Al-Khowarizmi
decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte
hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos
hindus.
Com
o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do
sistema de numeração hindu. Os símbolos
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de
onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da
Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o
nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.
OS NÚMEROS RACIONAIS
Com
o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior
que ele fosse.
0
13 35 98 1.024 3.645.872
Como
estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da
natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais
simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um
número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os
matemáticos egípcios.
O
número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números
naturais. A palavra razão em matemática
significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários
podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são
chamados de números racionais.
A
descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da
Matemática.
Fonte: http://educar.sc.usp.br
NOVO SÉCULO
"A
matemática surgiu da auto-alienação do espírito humano. A alma não consegue se
encontrar na matemática. O espírito humano reside nas instituições
humanas" . Esta frase de Giovanni Battista Vico (1668-1744), vem de
encontro com o pensamento Pitagórico. Discordando que a matemática seja natural
do ser humano.
Analisando
agora a abordagem conhecida como matemática aplicada: o impacto causado pela
matemática no mundo e sua utilização em relação ao mundo da natureza e das
atividades humanas.
Essa
abordagem é tão difundida que hoje se fala em matematização do mundo. As
ciências naturais, como a física, a astrofísica e a química, em seus aspectos
teóricos estão totalmente matematizados. De fato tornou-se quase uma condição
inicial, para o reconhecimento de uma teoria científica que ela possa ser
expressa em linguagem matemática. É também um ato de fé, a suposição de que uma
matemática apropriada possa ser desenvolvida sempre que a disponível for
inadequada para descrever algum fenômeno observado.
Desde
a biologia até psicologia, sociologia, economia, tudo pode ser tratado em
termos matemáticos. O comportamento de um rato num labirinto pode ser expresso
numa matriz.
Com
a ajuda do computador essas tarefas tornam-se corriqueiras e até mesmo desafios
para o homem. E tudo aquilo que pode ser executado num computador pressupõe um
suporte matemático, como por exemplo, o fractal representado nesta página.
Tentativas
foram feitas para produzir uma definição matemática da vida, nos termos da
Teoria da Complexidade. A matemática, como Descartes sonhou, tornou-se o agente
unificador de um mundo racionalizado.
Mas
realmente tudo pode ser matematizado? Quais são os limites da matemática? As
emoções, sentimentos, raiva, amor, solidão, etc. Isso não pode ser expresso por
equações e incógnitas. Os que tentaram expressar a psicologia e sociologia
através de estatísticas tentando quantificar a mente humana, falharam.
A
vida interior do indivíduo e da sociedade não está descrita em nenhuma fórmula,
desde a literatura, a música, a política, as marés e correntes da história, as
tolices que aparecem nos jornais, tudo isso fica fora do computador, fora de
qualquer equação ou inequação. Isso é , sem dúvida, uma coisa boa.
A
matemática nos é essencial mas não podemos perder de vista a intuição, o
sentimento, a sociabilidade.
Como
em todas as ciências, continuam as pesquisas em matemática. Um dos pontos mais
importantes de estudo e ensino, encontra-se no Instituto de Ciências
Matemáticas de São Carlos - ICMSC - da Universidade de São Paulo.
BIBLIOGRAFIA
BOYER,
C.B. História da Matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 1974. 488p.
BARON,
M.E. Curso de história da Matemática da Open University. Brasília:Editora da
Universidade de Brasília, 1985.
DAVIS,
P.J.; HERSH,R. O Sonho de Descartes. University of New Mexico. Livraria
Francisco Alves Editora S/A, 1986.
BARKER,
S.F. Filosofia da Matemática. University of Ohio. Zachar Edutores, 1969.
Fonte: www.sc.usp.br
HISTÓRIA DOS NÚMEROS
A noção de número e suas extraordinárias
generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria
vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem
formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não
a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a
indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da
matemática.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas
mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe
permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus
filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha
sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva
e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige
um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente
humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do
número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos
animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro
ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará
o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode
distinguir dois de três.
O CORVO ASSASSINADO
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo
que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou
surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava
de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava
à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens
entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se
deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O
estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens,
sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram
quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do
corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são
muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de
quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode
desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o
homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa
conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais
como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última,
especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os
testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas
provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem
civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é
ainda mais limitado.
LIMITAÇÕES VÊM DE LONGE
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma
notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o
grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente
disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não
possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas
palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam
um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos
remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens
européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa
thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos:
"três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as
palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês:
trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência?
Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que
já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema
apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais
pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir
que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de
número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual
nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o
homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal.
Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar
sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a
exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a
operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O NÚMERO SEM CONTAGEM
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível
chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando
numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da
sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois
conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor
número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos
sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão
ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que
poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um
procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de
correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um
conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos
se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos,
se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de
suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de
madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na
origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que
significa pedra.
A IDÉIA DE CORRESPONDÊNCIA
A correspondência biunívoca resume-se numa operação
de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza
fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence
à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta
para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da
coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem
oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com
conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um
mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o
"nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do
pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros
séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero
não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as
operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números
romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização
grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa
numeração é muito posterior a todos eles.
DO RELATIVO AO ABSOLUTO
Pareceria à primeira vista que o processo de
correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por
comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das
pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da
palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos
rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a
avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos
modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o
conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam
simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do
cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa
poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se
desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é
esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida
que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das
palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as
quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata
dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica
falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da
escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das
palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de
cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação
para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde
os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os
grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento
sofreram uma metamorfose completa.
PALAVRAS QUE REPRESENTAM NÚMEROS EM ALGUMAS LÍNGUAS
INDO-EUROPÉIAS:
Nº
|
Grego Arcaico
|
Latim
|
Alemão
|
Inglês
|
Francês
|
Russo
|
1
|
en
|
unos
|
eins
|
one
|
un
|
odyn
|
2
|
du
|
duo
|
zwei
|
two
|
deux
|
dva
|
3
|
tri
|
tres
|
drei
|
three
|
trois
|
tri
|
4
|
tetra
|
quatuor
|
vier
|
four
|
quatre
|
chetyre
|
5
|
pente
|
quinque
|
fünf
|
five
|
cinq
|
piat
|
6
|
hex
|
sex
|
sechs
|
six
|
six
|
chest
|
7
|
hepta
|
septem
|
sieben
|
seven
|
sept
|
sem
|
8
|
octo
|
octo
|
acht
|
eigth
|
huint
|
vosem
|
9
|
ennea
|
novem
|
neun
|
nine
|
neuf
|
deviat
|
10
|
deca
|
decem
|
zehn
|
ten
|
dix
|
desiat
|
100
|
hecaton
|
centum
|
hundert
|
hundred
|
cent
|
sto
|
1000
|
xilia
|
mille
|
tausend
|
thousand
|
mille
|
tysiatsa
|
Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril
Cultural
ÁLGEBRA
Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa de
um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.
Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que
viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar
a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram
com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser
representadas com abreviações.
Diofante viveu numa época muito tumultuada,
presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não foi nada bom
para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento interrompido
devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela destruição de muitos
centros de estudos, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do
estágio inicial.
Só no ano de 650 aproximadamente, com a ascensão do
Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.
De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid
(o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram vários territórios,
fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de artesanato. Todas
essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através do deserto,
provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.
Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho
al-Mamum assumiu o trono e governou até 833. Al-Mamum criou em Bagdá um centro
de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles
estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro
chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de
um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do
título desse livro.
al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas como
muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações
totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e
Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos
pelos inimigos tanto franceses com espanhóis, usavam códigos em suas mensagens.
Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um
mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam
seus planos militares.
"Os franceses têm um pacto com o diabo"
diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão. O demônio
era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos
das mensagens espanholas.
Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de
1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela
introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como
o Pai da Álgebra.
Além de Viète, outros matemáticos da mesma época
deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert
Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal
foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável
pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
A passagem para uma álgebra completamente simbólica
foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que
introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:
1) criou o símbolo (.) para a operação de
multiplicação;
2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes
de uma potenciação:
3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para
os coeficentes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as
últimas letras para representar as incógnitas.
Fonte: www.vestibular1.com.br
ALGARISMO
No ano de 825 d.C. o trono do Ímpério Árabe era
ocupado pelo Califa al-Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se
transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudesse dominar todas as
áreas do conhecimento. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para
Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.
Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior
matemático árabe de todos os tempos, e foi destinado a ele a função de traduzir
para o árabe os livros de matemática vindos da Índia.
Numa dessas traduções al-Khowarizmi se deparou com
aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática:O
Sistema de Numeração Decimal. al-Khowarizmi ficou tão impressionado com a
utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema.
Através desse livro Sobre a Arte Hindú de Calcular matemáticos de todo o mundo
ficaram conhecendo o Sistema Decimal.
O termo algarismo usado para denominar os símbolos
de 0 a 9 é uma homenagem a esse matemático árabe que mostrou a humanidade a
utilidade desses dez e magníficos símbolos.Observe a semelhança entre algarismo
e al-Khowarizmi.
CÁLCULO
A palavra cálculo vem do latim calculus, que
significa pedrinhas ou pequenas pedras. Acredita-se que à muitos milhares de
anos, quando o homem não dominava nenhum sistema de contagem, os pastores para
controlar a quantidade de ovelhas de seus rebanhos utilizavam essas pequenas
pedras.
Pela manhã, o procedimento era o seguinte: para
cada ovelha que saía do cercado guardava-se uma pedra num saquinho. No fim do
dia cada pedrinha guardada no saquinho pela manhã era retirada assim que cada
ovelha retornava ao aprisco, dessa forma eles podiam saber se todas as ovelhas
tinham retornado.
Essa prática desenvolvida pelos pastores para fazer
contas utilizando pedras, deu origem a palavra calcular, que é tanto utilizada
na matemática e que significa, contar com pedras.
FRAÇÕES
Todos os anos, no mês de julho, as águas do Rio
Nilo inundavam uma vasta região ao longo de suas margens. As águas do Rio Nilo
fertilizavam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Cada pedaço de
terra às margens desse rio era precioso e tinha que ser muito bem cuidado.
Por volta do ano 3000 a.C. o Faraó Sesóstris
repartiu essas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Só que todos os anos em setembro quando as águas
baixavam, funcionários do governo faziam a marcação do terreno de cada
agricultor. Esses funcionários eram chamados de agrimensores ou estiradores de
corda. Isso se explica pelo fato de que usavam cordas com uma unidade de medida
assinalada, essa corda era esticada para que se verificasse quantas vezes
aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Mas na maioria
das vezes acontecia da unidade de medida escolhida não caber um número inteiro
de vezes nos lados do terreno.
Para solucionar o problema da medição das terras,
os egípcios criaram um novo número, o número fracionário, que era representado
representado com o uso de frações.
Os egípcios entendiam a fração somente como uma
unidade, portanto, utilizavam apenas frações unitárias (com numerador igual a
1).
A escrita dessas frações era feita colocando um
sinal oval sobre o denominador.
No Sistema de Numeração usado pelos egípcios os
símbolos se repetiam com muita frequência, tornando os cálculos com números
fracionários muito complicados.
Com a criação do Sistema de Numeração Decimal,
pelos hindus, o trabalho com as frações tornou-se mais simples, e a sua
representação passou a ser expressa pela razão de dois números naturais.
GEOMETRIA
Geometria significa "medida da terra".
Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os
primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese
falsa. Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram
feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da
geometria.
Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a
geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a
Euclides, mestre na escola de Alexandria (Cidade do Egito, famosa por seu
farol), que publicou por volta de 325 a.C. Os Elementos, uma obra com treze
volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.
Esse trabalho de Euclides é tão vasto que alguns
historiadores não acreditaram que fosse obra de um só homem. Mas essas
desconfianças não foram suficientes para tirar o mérito de Euclides o primeiro
a propor um método para um estudo lógico da matemática.
GRAU
Em qualquer livro de matemática encontramos
afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas
qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.
Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000
a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa
época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava
360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma
parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse
arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos
lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser
uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.
Pode-se concluir, então, que para os antigos
egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da
Terra durante um dia.
Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do
Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de
circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
NÚMERO CONCRETO
Há mais de 30000 anos, o homem vivia em pequenos
grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e
proteger-se da chuva e do frio. Os caçadores para registrar os animais mortos
numa caçada eles se limitavam a fazer marcas numa vara.
Nessa época o homem se alimentava daquilo que a
natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos.
Quando descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os
alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.
A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar,
o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo
um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no
osso.
Mais ou menos há 10000 anos, o homem começou a
modificar bastante o seu sistema de vida. em vez de apenas caçar e coletar
frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e a criar animais. Era o
início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos
de que podia dispor.
E para dedicar-se às atividades de plantar e criar
animais, o homem não podia continuar se deslocando de um lugar para outro como
antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de
rios e lagos. Abandonou o hábito de abrigar-se em cavernas e desenvolveu uma
nova habilidade: a de construir sua própria moradia.
Começaram a surgir as primeiras comunidades
organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas etc. Com a lã das
ovelhas eram tecidos panos para a roupa. O trabalho de um pastor primitivo era
muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite
recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado.
Mas como controlar o rebanho? como ter certeza de
que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem? O
jeito que o pastor arranjou para controlar seu rebanho foi contar as ovelhas
com pedras. Assim: Cada ovelha que saías para pastar correspondia a uma pedra.
O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que
as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. que
susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma
pedra!
Esse pastor jamais poderia imaginar que, mulhares
de anos mais tarde, haveria um ramo na Matemática chamado cálculo, que em latim
quer dizer contas com pedras. Foi contando objetos com outros objetos que a
humanidade começou a contruir o conceito de número.
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo,
sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco
bastões, cinco animais, e assim por diante.
A idéia de contagem estava relacionada com os dedos
da mão. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de
cinco. Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos
na madeira ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.
Para nós, hoje, o número cinco representa a
propriedade comum de infinitas coleçõesde objetos: representa a quantidade de
elementos de um conjunto, não importando se se trata de cinco bolas, cinco
skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.
É por isso que esse número, que surgiu quando o
homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.
NÚMERO NATURAL
No século VI foram fundados na Síria alguns centros
de cultura grega. consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam
para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.
Ao participar de uma conferência num destes clubes,
em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as
pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
"Existem outros povos que também sabe alguma
coisa! Os hindus, por exemplo, Têm valiosos métodos de cálculos. São métodos
fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por meio de apenas nove
sinais!".
A referência a nove, e não a dez símbolos,
significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu
sistema de numeração - a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao
Ocidente.
A idéia dos hindus de introduzir uma notação para
uma posição vazia - um ovo de ganso, redondo - ocorreu na Índia, no fim do
século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse
à Europa.
Com a introdução do décimo sinal - o zero -, o
sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos
indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de
numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos 0 1 2 3 4
5 6 7 8 9 são chamados de algarismos?
NÚMERO NEGATIVO
Os matemáticos chineses da antiguidade, tratavam os
números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros,
onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos
pretos.
Na Índia, os matemáticos tabém trabalhavam com
esses estranhos números.Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C.,
afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.
Mas, sem símbolos próprios para que se pudesse
realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam
se firmar como verdadeiros números..
Depois de várias tentativas frustadas, os
matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse
novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não
poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da
época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha
em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia
ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que
naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na
frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que
restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para
se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a
quantidade inicial.
Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e
criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).
- Pi: o Número
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões.
Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu
diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e oseu valor é um número
"um pouquinho maior que 3".
É essa razão que hoje chamamos pi. Considerando c o comprimento de uma
circunferência e d o diâmetro, temos:
- c/d = pi
- c = pi.d
O cálculo do valor exato de pi ocupou os
matemáticos por muitos séculos. Para chegar ao valor de pi exprsso por 3 1/6,
que é aproximadamente 3,16, os egípcios há 3 500 anos partiram de um quadrado
inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados
do quadrado para obter um polígono de 8 lados e calcularam a razão entre os
perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da
circunferência.
Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que
a dos babilônios, para os quais "o comprimento de qualquer circunferência
era o triplo de seu diâmetro", o que indicava o valor 3 para pi.
Por volta do século III a.C., Arquimedes - o mais
famoso matemático da Antiguidade, que viveu e morreu em Siracusa, na Grécia -
também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o
seu diâmetro.
Começando com um hexágono regular, Arquimedes
calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número
de lados até chegar a um polígono de 96 lados.
Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados,
conseguiu para pi um valor entre 3 10/71 e 3 10/70. Ou seja, para Arquimedes pi
era um número entre 3,1408 e 3,1428.
Observação: Para uma pesquisa mais detalhada
sobre a história da matemática, favor consultar as fontes adicionais a seguir:
9 - http://www1.folha.uol.com.br/livrariadafolha/1166785-leia-trecho-de-historia-da-matematica.shtml
Faltou a origem da matemática e a matemática na pré-história...
ResponderExcluirgostei muito,gosto de aprender coisas novas e isso ajudou bastante,quem é nerd como eu sabe! o estudo e muito importante pra nossa coordenação motora,ninguém precisa ouvir boatos e comer massa cinzenta né?
ResponderExcluirp.s:pra quem não sabe(eu duvido muito que isso aconteça)massa cinzenta é a mesma coisa que cérebro!
tchau meus amigos,estudem bastante para serem médicos.pedagogos,professores etc...
p.p.s:não importa o trabalho que você tenha,nem mesmo se for gari(lixeiro),o importante mesmo é que você seja o melhor no que você faz!
que coisa grande doido
ResponderExcluir