RESUMO DE ESTATÍSTICA BÁSICA - PARTE 2

Blog “Ciências Exatas Contemporâneas”, de autoria de Superdotado Álaze Gabriel.

Disponível em http://www.cienciaexatascontemporaneas.blogspot.com.br/

3.   MEDIDAS DE POSIÇÃO

Introdução

è São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência.

·       As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais).

·       As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outros promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática.

·       As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.

.

MÉDIA ARITMÉTICA =

è É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.

onde  xi são os valores da variável e n o número de valores.

.

Dados não-agrupados:          Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples.

Ex:      Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 kilos, temos, para venda média diária na semana de:

.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kilos

Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja:.

. di = Xi -

No exemplo anterior temos sete desvios:...   d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14 = 0 ,   d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e.  ..   d7 = 12 - 14 = - 2.

.

Propriedades da média aritmética  è

1ª propriedade:         A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.

·       No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0

2ª propriedade:         Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante.

·       Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável temos:

Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou

Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 kilos

3ª propriedade:         Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante.

·       Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável temos:

Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou

Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos

.

Dados agrupados:

Sem intervalos de classe è Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:

Nº de meninos	Freqüência = fi
0	2
1	6
2	10
3	12
4	4
Total	34

·       Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

 

xi.	..fi.	..xi.fi .
0	2	0
1	6	6
2	10	20
3	12	36
4	4	16
total	34	78

Onde 78/34 =  2,3 meninos por família

Com intervalos de classe  è           Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

 

..

Onde Xi é o ponto médio da classe.

Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.

Estaturas (cm)	freqüência = fi	ponto médio = xi	..xi.fi.
50 |------------ 54	4	52	208
54 |------------ 58	9	56	504
58 |------------ 62	11	60	660
62 |------------ 66	8	64	512
66 |------------ 70	5	68	340
70 |------------ 74	3	72	216
Total	40		2.440

Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo... = 61 cm

Média Geométrica  =  g

è É a raiz n-ésima do produto de todos eles.

Média Geométrica Simples: ou .

Ex.: - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:E

a) { 10, 60, 360 }.:                    = ( 10  * 60 * 36 0) ^ (1/3) ....R: 60

b) { 2, 2, 2 }........:                    = (2 * 2 * 2 ^ (1/3) ..     .R: 2

c) { 1, 4, 16, 64 }:                   = (1 * 4 * 16 * 64  ) ^(1/4) ....R: 8

.

Média Geométrica Ponderada :

ou ..

Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo:

...xi...	...fi...
1	2
3	4
9	2
27	1
Total	9

= (1² * 3⁴ * 9² * 27¹) ^(1/9). R: 3, 8296

.MÉDIA HARMÔNICA  - h

è É o inverso da média aritmética dos inversos.

.

Média Harmônica Simples:.  (para dados não agrupados)

..ou

.

Média Harmônica Ponderada :  (para dados agrupados em tabelas de freqüências)

 

..

Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo:

classes	....fi....	....xi....	........fi/xi........
1 |--------- 3	2	2	2/2 = 1,00
3 |--------- 5	4	4	4/4 = 1,00
5 |--------- 7	8	6	8/6 = 1,33
7 |--------- 9	4	8	4/8 = 0,50
9 |--------- 11	2	10	2/10 = 0,20
total	20		4,03

Resp: 20 / 4,03 = 4,96

OBS:   A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.

·       A igualdade g = h.= ....só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.

OBS:   Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinte relação:

g = (.+ h ) /.2

·       Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados:

z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 }

Média aritmética = 51,3 / 5                = 10,2600

Média geométrica=                                        = 10,2587

Média harmônica = 5 / 0,4874508     = 10,2574

Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica

.

MODA  -  Mo

è É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

·       Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.

.

A Moda quando os dados não estão agrupados è

·       A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete.

Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.

·       Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros.

Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.

·       .Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais.

Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.

.

A Moda quando os dados estão agrupados  è

a) Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.

Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:

Temperaturas	Freqüência
0º C	3
1º C	9
2º C	12
3º C	6

Resp: 2º C é a temperatura modal, pois  é a de maior freqüência.

.

b) Com intervalos de classe:            A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

Mo = ( l* + L* ) / 2

onde l* = limite inferior da classe modal e L* = limite superior da classe modal.

Ex:  Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Classes (em cm)	Freqüência
54 |------------ 58	9
58 |------------ 62	11
62 |------------ 66	8
66 |------------ 70	5

Resposta: a classe modal é 58|-------- 62, pois é a de maior freqüência. l* = 58 e L* = 62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da moda).

 

Mo = l* + (d1/(d1+d2)) x h*

Método mais elaborado pela fórmula de CZUBER:    

l* = limite inferior da classe modal..... e..... L* = limite superior da classe modal

d1 =  freqüência da classe modal - freqüência da classe anterior à da classe modal

d2 = freqüência da classe modal - freqüência da classe posterior à da classe modal

h* = amplitude da classe modal

Mo =  58 + ((11-9) / ((11-9) + (11 – 8)) x 4   è        Mo = 59,6

Obs:    A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade.

MEDIANA  -  Md

è A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

.

A mediana em dados não-agrupados è

Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9.

.

Método prático para o cálculo da Mediana:

è       Se a série dada tiver número ímpar de termos:    O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :

.( n + 1 ) / 2

Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana

A mediana será o 5º elemento = 2

.

Se a série dada tiver número par de termos:        O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :....

.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2

Obs:    n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente.

Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2

[( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2

5º termo = 2

6º termo = 3

A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.

Notas:

·       Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série.

·       Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série.

·       Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.

·       A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média ( que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos:

Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10

Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10

·       isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

A mediana em dados agrupados è

a) Sem intervalos de classe: Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.

Ex.:  conforme tabela abaixo:

Variável xi	Freqüência fi	Freqüência acumulada
0	2	2
1	6	8
2	9	17
3	13	30
4	5	35
total	35

·       Quando o somatório das freqüências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :

.

·       Como o somatório das freqüências = 35 a fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3..

·       Quando o somatório das freqüências for par o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula:

Ex:  Calcule Mediana da tabela abaixo:

Variável xi	Freqüência fi	Freqüência acumulada
12	1	1
14	2	3
15	1	4
16	2	6
17	1	7
20	1	8
Total	8

·       Aplicando fórmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º termo + 5º termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

b) Com intervalos de classe:            Devemos seguir os seguintes passos:

1º)       Determinamos as freqüências acumuladas ;

2º)       Calculamos ;

3º)       Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior à   . Tal classe será a classe mediana ;

Md = l* + [(- FAA ) x h*] / f*

4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:.    M 

l* = é o limite inferior da classe mediana.

FAA   = é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana.

f*        = é a freqüência simples da classe mediana.

h* = é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Ex:

Classes	Freqüência = fi	Freqüência acumulada
50 |------------ 54	4	4
54 |------------ 58	9	13
58 |------------ 62	11	24
62 |------------ 66	8	32
66 |------------ 70	5	37
70 |------------ 74	3	40
Total	40

= 40 / 2 =.20...........

Logo.a classe mediana será 58 |---------- 62

l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54

OBS:   Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição.

Emprego da Mediana

·       Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais.

·       Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética.

·       Quando a variável em estudo é salário.

SEPARATRIZES

è Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores.

Essas medidas - os quartis, os decis e os percentis - são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.

.

QUARTIS  -  Q

è Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.  Precisamos portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3) para dividir a série em quatro partes iguais.

Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual a mediana da série.

Quartis em dados não agrupados  è

è O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis.  Na realidade serão calculadas " 3 medianas " em uma mesma série.

Ex 1: Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }

- O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:   { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

- O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2 = 9

- Temos agora {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela mediana ( quartil 2 ). Para o cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2).

Logo em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 . Ou seja: será o quartil 1 = Q1 = 5

em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3 = Q = 13

Ex 2: Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }

-       A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5

- O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 }

Q1 = (2+3)/2 = 2,5

- O quartil 3 será a mediana da série à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 13 }

Q3 = (9+9)/2 = 9

Quartis para dados agrupados em classes  è     

è Usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana,

E fi / 2.... por  ... k . E fi / 4  ... sendo k o número de ordem do quartil.

Assim, temos:

Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q2 = . l* + [(2.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Ex 3 - Calcule os quartis da tabela abaixo:

Classes	Freqüência = fi	Freqüência acumulada
50 |------------ 54	4	4
54 |------------ 58	9	13
58 |------------ 62	11	24
62 |------------ 66	8	32
66 |------------ 70	5	37
70 |------------ 74	3	40
Total	40

- O quartil 2 = Md , logo:

= 40 / 2 =.20........... logo.a classe mediana será 58 |---------- 62

l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4

Q2 = . l* + [(2.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

- Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54 = Q2

- O quartil 1 :   E fi / 4 = 10

Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q1 = 54 + [ (10 - 4) x 4] / 9 = 54 + 2,66 = 56,66 = Q1

.

- O quartil 3 : 3.E fi / 4 = 30

Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q3 = 62 + [ (30 -24) x 4] / 8 = 62 + 3 = 65 = Q3